La isla es mejor dividirla en este y oeste... Y, si vas a moverte en transporte público y solo tienes seis días, 6 noches (teniendo en cuenta que una es la de llegada que queda poquito aprovechable), yo optaría por ver la zona oeste o la zona este, y obviamente, lo imprescindible, porque no te da tiempo a más... Cruzar la isla en transporte público lleva unas horas... y perderías casi otro día...
Aterrizando en Palermo y despegando al regreso desde Palermo: Noche del día de llegada
Visitar: Un día completo Palermo ciudad
Visitar Monreale (bus desde Palermo, está muy cerquita, lo veis en una mañana) y tarde en Palermo
Hacer una excursión para ver el Valle de los Templos (ida y vuelta en el día), quizá te convenga contratar una excursión organizada, pero eso sería ver los horarios de buses que ahora no me los sé de memoria.
Hacer una excursión a Cefalú, eso sí podéis hacerlo en bus o en tren.
Haría una excursión a Trápani y Erice, si os incluye el Templo de Segesta, mejor!
Y ya no te daría tiempo a más, serían seis noches en Palermo...
Si aterrizas y despegas desde Catania: Noche del día de llegada
Si te quedas en Siracusa, por ejemplo, que no está lejos del aeropuerto y es zona con cosas bonitas): un día ver Siracusa y Ortigia
Otro día hacer una excursión al Etna (aquí sí que tienes que hacer un tour organizado, que seguramente irá combinado con más cosas, pero yo trataría de que no te incluya Taormina, disfrutar de Taormina se merece un día completo, no solo una tarde)
Un día en Taormina (tenéis bus desde Catania y desde Siracusa también, por si optarais por alojaros en Siracusa o en Catania)
Un día en Catania (tenéis bus desde Siracusa)
Un día de excursión organizada: A elegir entre Ragusa Iblá y Noto, o Piazza Armerina y la Villa Romana de Casale..., por ejemplo...
Y hasta ahí, serían seis noches...